Um esboço do projeto
Consideremos conjunto de dados iniciais (M^n, g, K)
para a equação de Einstein, que consiste da tripla formada por uma variedade diferenciável n-dimensional M^n
, uma métrica riemanniana g
e um tensor simétrico K \in \Gamma \left( T^{*}M \odot T^{*}M \right)
do tipo (0,2)
, satisfazendo as equações de vínculo:
\begin{aligned}
R_g + (\mathrm{tr}_gK)^2 -||K||^2_g &= 16\pi \mu \\
\mathrm{div}_g \left( K - (\mathrm{tr}_g K)g \right) &= 8\pi J \\
\mathcal{C}(\mathcal{F},g) &= 0,
\end{aligned}
onde \mu \in C^{\infty}(M)
e J \in \Gamma\left( T^*M \right)
são a densidade (pontual) de energia e a densidade de momento, respectivamente; \mathcal{C}(\mathcal{F},g)
denota o conjunto adicional de vínculos que devem ser satisfeitos pelos campos de matéria (campos não-gravitacionais) em M
(usualmente são seções de fibrados sobre M
), aqui denotados coletivamente por \mathcal{F}
.1
Yu Li, Xianzhe Dai e Li Ma investigaram a ação do fluxo de Ricci:
\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 Ric(g(t)) \\
g(0) = g
\end{cases}
no caso especial de dados inciais assintoticamente euclidianos (M^n, g)
satisfazendo a condição de simetria no tempo, isto é, K \equiv 0
. Nesses trabalhos os autores determinam o comportamento da estrutura assintótica e da massa ADM de dados iniciais sob a ação do fluxo de Ricci, em particular, as suas respectivas invariâncias em tempo finito, com isso deduzem novas provas para o teorema da massa positiva. Esses resultados sugerem naturalmente a seguinte questão:
O que a ação do fluxo de Ricci em conjuntos de dados iniciais tem a nos dizer a respeito da conjectura de Penrose?
Inspirados nas fórmulas de monoticidade que estão costumeiramente presentes nas abordagens clássicas para a conjectura de Penrose, via fluxo pelo inverso da curvatura média, por exemplo, e levando em conta a invariância da massa ADM sob a ação desse fluxo, nos ocorre a seguinte abordagem:
Investigar a taxa de evolução da quantidade
Q(g(t)) := m_{ADM}(g(t)) - \frac{1}{2} \left( \frac{\vert \Sigma_{min} \vert_{g(t)}}{\omega_{n-1}} \right)^{\frac{n-2}{n-1}},
onde
\omega_{n-1}
e\vert \Sigma_{min} \vert_{g(t)}
denotam os volumes (n-1)-dimensional da esfera unitária e do envelope de área mínima de um horizonte aparente (vide definição abaixo), respectivamente.Por exemplo, se pudermos garantir que essa quantidade é monótona não-crescente, ou seja,
\frac{d}{dt} Q(g(t)) \le 0
, e que em algum momento essa quantidade é não-negativa, a desigualdade da conjectura de Penrose fica estabelecida.
Ainda no escopo dessa questão, nos ocorre quase que de imediato a seguinte a ideia:
Investigar o comportamento de horizontes aparentes em dados iniciais sob a ação do fluxo de Ricci.
De fato, o entendimento do comportamento dos horizontes aparentes se faz necessário para desenvolvermos a abordagem proposta acima, porque o quociente na segunda parcela a direita, na definição da quantidade
Q(g(t))
, só faz sentido na presença de horizontes aparentes.
À saber2, dada uma hipersuperfície (\Sigma^{n-1}, \gamma \equiv g\vert_{T\Sigma})
riemanniana em um conjunto de dados inciais (M^n,g,K)
, ficam definidas (localmente) as suas expansões tipo-luz \theta_{\pm}
exterior e interior, respectivamente:
\begin{aligned}
\theta_{\pm}: &U \subset \Sigma \longrightarrow \mathbb{R} \\
& p \longmapsto tr_{\gamma}\left( K\vert_{\Sigma} \right) \pm H_{\Sigma}
\end{aligned}
onde H_{\Sigma}
e K\vert_{\Sigma}
denotam (pontualmente) a curvatura média de \Sigma
com respeito ao dado inicial (M^n, g)
e a restrição do dado inicial K
aos espaços tangentes ao longo de \Sigma
, respectivamente. Quando a hipersuperfície é orientável, as suas expansões ficam globalmente definidas. Dizemos que uma hipersuperfície fechada \Sigma
é um horizonte aparente (futuro), ou uma MOTS (Marginally Outer Trapped Surface), se vale a identidade:
\begin{aligned}
\theta_{+} = tr_{\gamma}\left( K\vert_{\Sigma} \right) + H_{\Sigma} \equiv 0.
\end{aligned}
Isso sugere a seguinte abordagem para um eventual estudo do comportamento dos horizontes aparentes em conjuntos de dados iniciais sujeitos a ação desse fluxo de Ricci:
Investigar a taxa de evolução da expansão tipo-luz
\theta_{+}
, ao longo das hipersuperfícies candidatas ao posto de horizonte aparente.Observação: as fórmulas de variação (2.3.11) e (2.3.12) do texto citado na nota2 podem vir a ser úteis no cálculo dessa taxa de evolução.
Um outro ponto importante nessa abordagem é saber a resposta para seguinte questão:
As equações de vínculo são preservadas pelo fluxo de Ricci?
-
Vide seção 5.1 do texto Mathematical general relativity: A sampler, dos autores: Piotr T. Chruściel, Gregory J. Galloway and Daniel Pollack.
↩ -
Para uma motivação para as definições e a terminologia adotada, vide formulação lorentziana nas seções 2.1 e 2.3 do texto arXiv:0906.5566.
↩ ↩ 2